【Python】十进制小数转二进制小数

唐凌

前言

本文的诞生是源于完成作业的时候搞出来的无聊东西。
计算的不是浮点数，而是定点数。

基本理论

整数的表达方式是从右至左，从10的0次方一直到10的N次方。
小数的表达方式就是从小数点从左至右，从10的-1次方一直到10的-N次方。

比方说十进制的小数1.5表达为二进制的小数就是1.1，因为1.5=2⁰+2^-1。

设计

由于整数太符合直觉了，所以我这里设计的程序就只管0到1的开区间以内的有限小数了。
浮点数精准度太差，再加上本来就是要算定点数，因此就用整数的方法搞计算了。

参数

我给出了三个参数：Number, Precision, PrecedingZeroes=0。
Number参数用于表示小数点后的数字。
Precision参数表示精确至小数点后几位。
PrecedingZeroes参数用于表示当小数点后的开头几位为0的时候，有多少个零在那。

流程

在小数点后的计算十分容易，直接除以2就好。但是要把小数部分直接视为整数就有绝对不是除以2的问题了。
举个例子，如果用户想要表达0.5，那他会在Number参数这里传5，如果把5和2做比较就明显是错误的。
正确的做法是在10的进制空间下以2的商作为除数。
说人话就是：以5的正整数次幂为界，进行四舍五入式的比较。
以0.5为例，Number是5，是符合>=5的，因此小数点后一位置位。剩下0，结束，故0.5对应二进制是0.1。
以0.4为例，Number是4，不符合>=5，因此小数点后一位复位。剩下4，继续，故0.4对应二进制是0.0...。（暂时不展开计算）
接下来是如何进位的问题。求小数的时候我们需要向右借位，但是这里是整数，因此只能向左借位了。
向左借位的方法是：被除数乘以10，除数乘以5。注意不论是否置位复位，进行下一次迭代时都必须借位。
继续以0.4为例，由于还有余数，需要进位，因此被除数变成了40，除数变成了25。因为40>=25，所以小数点后两位置位。剩下15，还需要继续，0.4对应二进制就是0.01...。（不展开了）
但是问题还没有完。
如果用户传进来的Number是25呢？要知道0.25对应的二进制应该是0.01，照这么算它会变成0.11111....。还有，如果传进来的Number是500呢？0.500本质是0.5，可500的本质不是5啊。而且还有个PrecedingZeroes参数没有考虑在内呢。
于是就存在了初始化除数的问题。不能把除数直接初始化为5，而是要根据情况来定。
解决方案就是初始化的时候，在5的基础上，乘以10的非负整数次幂来消除长度问题。
以0.25为例，在第一次迭代时它应该和0.50作比较，换句话说就是25应该和50作比较。也就是说因为25大于10的1次幂，除数需要在初始化的时候也乘以10的1次幂。
以0.05为例，在第一次迭代时它应该和0.5作比较，但这不意味着就是5和5做比较，因为0.05相比0.5有效位少了1位，因此除数也需要在初始化的时候乘以10的1次幂。
在这个基础上，进位的过程可以优化一下。注意，这里优化的目的不是为了时间意义的优化，而是让除数在迭代的过程中不要太大。
如果除数自身可以被2整除，那么就将除数减半，被除数不变。
至于Precision参数没啥好说的，纯粹是控制迭代次数的活。

代码

说完流程就可以贴代码了

def BinaryFromDecimal(Number,Precision,PrecedingZeroes=0):
    BinaryString=""
    Remainder=Number
    # Initialize the divisor
    Extension=len(str(Number))-1+PrecedingZeroes
    Divisor=5*(10**Extension)
    # Start iteration.
    Digit=0
    while Digit<Precision:
        # Compare dividend and divisor.
        if Remainder>=Divisor:
            BinaryString+="1"
            Remainder-=Divisor
        else:
            BinaryString+="0"
        # If there is no remainder, conversion is over.
        if Remainder==0:
            break
        # Advance divisor and remainder.
        if Divisor%2:
            # If divisor is not divisible by two,
            # advance divisor and remainder by 5 and 10 times.
            Remainder*=10
            Divisor*=5
        else:
            # If divisor is divisible by two,
            # advancement would be dividing divisor by 2.
            Divisor//=2
        # Increment the digit total.
        Digit+=1
    return BinaryString

总结

其实早就有实现好的库了，比方说fxpmath，binary-fractions啥的。
所以才说本文搞出来的是无聊玩意。

Golden Blonde

原来PYTHON的代码是这样的。。。我实在受不了没有括号也有没有end xxx的代码。